Textaufgaben in der Algebra / Jahrgangsstufe 8

1.  Zahlenraetsel

a) Eine Zahl ist um 7 kleiner als eine zweite Zahl. Wenn man das Dreifache der ersten Zahl zum Doppelten der

    zweiten  Zahl addiert, erhaelt man 74.

    Loesung: 1. Zahl: x      Die 2.Zahl ist ja um 7 groesser, also 

                Das Dreifache der 1.Zahl ist  3x  ,     das Doppelte der 2.Zahl ist   2 · (x+7)

                » 3x + 2 · (x+7) = 74               das Endergebnis ist:  x = 12

b) Eine Zahl ist doppelt so gross wie eine zweite Zahl. Wenn man zur ersten Zahl 48 addiert, ist das Ergebnis achtmal

     so gross wie die zweite Zahl.

    Loesung:  Die zweite Zahl ist x ,  die 1.Zahl ist 2x, weil sie doppelt so gross ist.

    Zur ersten Zahl 48 addiert: 2x + 48  , dieses Ergebnis ist genauso gross wie das 8-fache der 2.Zahl, also wie 8x

   So entsteht die folgende Gleichung: 2x + 48 = 8x   Das Endergebnis ist  x = 8 , die 1.Zahl ist dann 16!!

c) Addiert man zu einer Zahl 15 und multipliziert das Ergebnis mit 3, so entsteht eine Zahl, die um 1 groesser ist als das

    Siebenfache der Ausgangszahl.

    Loesung: Die Ausgangstahl ist x ,   15 addiert  :  x + 15  ,   multipliziert mit 3 :   (x+15) · 3  (*)

    Diese Zahl soll siebenmal so gross sein wie die Ausgangszahl, also 7x , und noch um 1 groesser, 

    also 7x + 1  (**)   Wenn man nun (x+15) · 3 und 7x+1 miteinander vergleicht - sie muessen gleich

   sein, also entsteht die folgende Gleichung : (x+15) · 3 = 7x +1   , das Endergebnis ist x = 11

   Rechne aus: (11 + 15) · 3 = 78   und   7 · 11 + 1 = 78 !!!

d) Addiert man zum Doppelten einer Zahl 27, so erhält man eine Zahl, die um 12 größer ist als das Dreifache der Zahl.

    Lösung:  Die gesuchte Zahl ist x ,  das Doppelte 2x  , 27 addiert macht 2x + 27 ,  dieses Ergebnis soll um 12

   größer sein als das Dreifache der (gesuchten) Zahl , also 3x + 12 , so entsteht die folgende Gleichung:

   2x + 27 = 3x + 12   Das Endergebnis ist  x = 15

Altersaufgaben

a) Peter ist 18 Jahre jünger als Klaus. In 8 Jahren ist Klaus dreimal so alt wie Peter. Wie alt sind beide heute?

   Lösung: Peter ist der Jüngere, also muss man von Klaus` Alter 18 subtrahieren. Klaus` Alter ist x, dann ist

   Peters Alter x - 18

   In 8 Jahren ist Klaus : x + 8

   Peter ist in 8 Jahren : x - 18 + 8   also x - 10

   Da Klaus in 8 Jahren 3-mal so alt wie Peter sein wird, gilt also:  3 · (x - 10 )

   und es entsteht die Gleichung : 3 · (x - 10) = x + 8     Das Endergebnis ist x = 19

   Also ist Klaus heute 19 Jahre alt und Peter 1 Jahr.

b) Ein Vater ist genau siebenmal so alt wie sein Sohn. In 4 Jahren sind beide zusammen 40 Jahre alt. Wie alt sind

    beide heute?

    Lösung:   Sohn heute: x    ,   Sohn in 4 Jahren: x + 4   ,  Vater heute : 7x  ,  Vater in 4 Jahren:  7x + 4

    Zusammen sind sie in 4 Jahren : x + 4 + 7x + 4 = 40      Lösung :  x = 4

    Also:  Der Sohn ist heute 4 Jahre alt, der Vater 28.

c) Petra ist jetzt 28 Jahre alt, ihre Schwester 20 Jahre alt. Vor wie viel Jahren war Petra doppelt so alt wie ihre

     Schwester?

     Lösung: Petra jetzt: 28 ,  Petra vor x Jahren : 28 - x

    Schwester jetzt: 20  ,  Schwester vor x Jahren : 20 - x

    Wenn Petra doppelt so alt wie ihre Schwester sein soll, muss man das Alter der Schwester mit 2             

    multiplizieren und erhält Petras Alter, also: (20 - x) · 2 = 28 - x  Lösung : x = 12

    Also vor 12 Jahren....

  Übungsaufgaben: 

    Karla ist heute 10 Jahre alt, ihre Oma ist 61 Jahre alt. in wie viel Jahren ist die Oma vielmal so alt wie Karla?

    Lösung: In 7 Jahren.

    Fritz ist heute doppelt so alt wie sein Sohn. Vor 15 Jahren war er siebenmal so alt. Wie alt sind beide heute?

    Lösung: Fritz ist 18 Jahre alt, sein Sohn 9 Jahre.

   Klaus ist heute 30 Jahre alt, sein Bruder 20 Jahre. Vor wie viel Jahren war Klaus dreimal so alt wie sein Bruder?

   Lösung: Vor 15 Jahren.

Mischungsaufgaben

Grundsätzlich gilt: Menge 1. Sorte mal Preis/kg 1. Sorte  + Menge 2. Sorte mal Preis/kg 2 . Sorte +

. . . + (weitere Sorten) = Gesamtpreis.

Beispiel: 1. Sorte: 14 kg ; Preis pro kg: 8 €   ; 2. Sorte: 12 kg ; Preis pro kg: 6 €  ; 3. Sorte: 6 kg

                Preis pro kg: 7 €    Rechnung: 14 · 8 + 12 · 6 + 6 · 7 =112 + 72 + 42 = 226

Aufgaben:

18kg der 1.Sorte zu 21€/kg werden mit einer zweiten Sorte zu 15€/kg gemischt, die Mischung kostet 593€

x ist die Menge der 2. Sorte

Lösung: Gleichung: 18 · 21 + x · 15 = 593  Lösung: x = 15

Lösung: Es entsteht folgende Gleichung, in der x die Menge der Sorte C bedeutet:

8 · 24,80 + 6 · 36,30 + x · 33,40 = ( 8 + 6 + x) · 30

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