Extremwertaufgaben (mit Nebenbedingungen) sollen zeigen, wie die Berechnung von relativen Extrempunkten bei Funktionen zur Optimierung von Größen auch außerhalb der Mathematik benutzt werden kann.

Während bisher mit Funktionen gerechnet wurde, bei denen das Einsetzen von Zahlen (aus D(f) ) für die Variable x zu Funktionswerten f(x) führte, werden nun andere funktionale Zuordnungen benutzt. Z.B. werden Seitenlängen a Flächeninhalte A(a) zugeordnet. Beispiel:

Drei Rechtecke haben den gleichen Umfang von 100m. Aber  die Flächeninhalte sind:

A₁ = 600m² ; A₂ = 400m² ; A₃ = 624m² ( A = a b ).

Es ist schon verwunderlich, dass bei gleichem Umfang verschiedene Flächeninhalte entstehen. Aber die geometrischen Formeln sind absolut richtig:

U = 2a+2b und A = a b .

Bei den Extremwertaufgaben ist nach absolut größten oder kleinsten Werten gefragt. Beim obigen Beispiel kann die Frage lauten: Für welche Seitenlängen entsteht bei U=100m ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt?

Wenn man den Flächeninhalt ausrechnen will, muss man beachten, dass zwischen a und b ein Zusammenhang besteht: 2a+2b muss 100 ergeben! Zweckmäßig ist es, die Gleichung 2a+2b=100 nach b aufzulösen: (erst durch 2 dividieren) b=50 – a . Wir wollen einige Flächenwerte berechnen, hierzu ist die folgende Tabelle zweckmäßig:

b= 50-a

Zur Flächeninhaltsberechnung ist es zweckmäßig, in der Formel A = a b die Variable b durch 50 – a zu ersetzen. Dann entsteht A = a·(50 – a).

Dieses Ersetzen von Variablen in der Ausgangsformel ist ein wesentlicher Bestandteil des Lösungsweges!

Man erhält also A = a·(50 – a) = 50a – a².

Man schreibt: A(a) = 50a – a² , denn es ist eine Funktion entstanden, bei der jedem “a-Wert” aus dem Definitionsbereich (wird später näher beschrieben) einen „A(a)-Wert“ zuordnet. Diese Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel (nach unten geöffnet wegen –a²).

Nun soll der Flächeninhalt maximal werden. Hierzu bietet sich ein Weg an, den wir aus den vorher behandelten Gebieten kennen: Wir bestimmen das relative Maximum!

Lösungsweg:

1)    Ableitungen bilden: A'(a) = 50 - 2a   A"(a) = -2

2)    Notwendige Bedingung: A'(a) = 0 a  50 – 2a = 0 a a = 25 .An dieser Stelle kann ein rel. Max.  liegen. Nun untersuchen, ob A"(a)<0 ist. (<0, weil ein rel. Max entstehen soll!). Da bei dieser Aufgabe gilt: A"(a) = -2, ist diese Bedingung erfüllt. Also hat die Funktion bei a = 25 ein rel. Max.

Nun ist die Aufgabe im Prinzip gelöst. Ich werde allerdings bei einer weiteren Aufgabe zeigen, dass an der ausgerechneten rel. Extremstelle nicht unbedingt das absolute Extremum liegen muss. Diese Problematik erfordert einiges Vorwissen, das ich an entsprechender Stelle genau beschreiben und erklären werde.

Ein weiterer Teil des Lösungsweges muss sich mit dem Definitionsbereich befassen. Die Zielfunktionswerte, die ja Flächeninhalte darstellen, können nicht mit jeder beliebigen Zahl gebildet werden. Es ist natürlich unsinnig, für a neg. Zahlen einzusetzen. Außerdem kann a nicht größer als 50 werden, sonst würde b in der Gleichung b = 50 – a negativ!

Also ergibt sich D(A) = [0;50] .

 Die Kurzform des Lösungsweges zu dieser Aufgabe sieht so aus:

1)    Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks: A = a·b

2)    Nebenbedingung: 2a+2b=100  b=50 – a

3)    Zielfunktion: A(a) = a·(50 – a ) = 50a – a²

4)    Def.-Bereich: D(A) = [0;50]

5)    Rel. Extrempunkte:

a)    Ableitungen : A'(a) = 50 - 2a   A"(a) = -2   

b)    Notwendige Bedingung: A'(a) = 0 a  50 – 2a = 0 a a = 25     

c)     Nun ist zu untersuchen, ob A"(a)<0 gilt. Da A"(a) = -2, liegt bei a = 25 ein rel. Max.

6)    Zusammenfassung: a_max = 25m ; b_max = 25m ; A_max = 625m²

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