Der Ableitungsbegriff

Die Steigung eines Graphen / Der Begriff der Ableitung

1. Grundlegende Zusammenhänge

Die Steigung ist schon bei der Behandlung von Geraden vorgekommen; da die dort behandelten Zusammenhänge wieder gebraucht werden, werden sie zunächst in Erinnerung gebracht.

Hier werden die alten Bezeichnungen benutzt:

Hier werden Oberstufenbezeichnungen benutzt, f(x) steht für den y-Wert des dazugehörigen x-Wertes.

In der altbekannten Geradengleichung y = mx + n heißt m Steigungsfaktor (und n heißt y-Achsenabschnitt)

Die Steigung m berechnet man nach der Formel:

Beispiel:

Wenn der Graph aber keine Gerade ist, sondern eine krumme Linie, ist die Steigung überall verschieden. Dies ist z.B. bei den Normalparabeln der Fall.

Deswegen wird ein Lösungsweg gebraucht, mit dem man zu jedem x-Wert einer Funktion die Steigung des Graphen berechnen kann.

Bevor ich mit der Entwicklung des Lösungsweges beginne, definiere ich den Begriff der Steigung eines Graphen:

Die Steigung eines Graphen an einer Stelle x₀D(f) ist definiert als Steigung m_t der Tangente, die den Graphen im Punkt

berührt.

2. Grundgedanken zum Lösungsweg

Man benutzt neben dem Punkt P₀ einen weiteren Punkt P₁ auf dem Graphen. Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, nennt man Sekante.

Es gilt bzgl. der Steigung der Sekante:

Nun wählt man einen zweiten Punkt P₂ , der näher an P₀ liegt:

Nun gilt:

Wenn man nun weitere Punkte auf dem Graphen wählt – wobei jeder Punkt näher an P₀ liegt – hat man die Grundlage zur Berechnung weiterer Sekantensteigungen. So entsteht eine Folge von Steigungswerten. Diese Folge strebt – wie man bei einem konkreten Beispiel leicht erkennen kann, gegen eine bestimmte Zahl.

Man muss sich vorstellen, dass der Punkt P₀ und der zweite Punkt so nahe aneinander liegen, dass sie als ein Punkt angenommen werden können. Dann kann man festlegen, dass die Sekanten zu einer Tangente geworden sind.

Dann kann man weiter festlegen, dass die o.g. Zahl, gegen die die Zahlenwerte streben, die Steigung dieser Tangente angibt.

Wir können also folgendes festlegen: Die Steigung eines Graphen in einem Punkt P₀ - definiert als Steigung der Tangente – ist die Zahl, der sich die Sekantensteigungswerte nähern.

Ein konkretes Beispiel:

Wir berechnen die Steigung in P₀ (6/9) . ( Der Punkt liegt auf dem Graphen, denn x=6 eingesetzt ergibt 9)

1) Wir wählen P₁ (7/12,25)

2) Der zweite Punkt muss näher an P₀ (6/9) liegen,

deshalb wählen wir P₂ (6,5/10,5625)

3) Der nächste Punkt sei P₃ (6,1/9,3025)

4) Wir wählen einen vierten Punkt P₄ (6,01/9,030025)

Ich glaube, dass man jetzt schon erkennen kann, dass die Steigungungswertefolge gegen die Zahl 3 strebt.

Man sagt: Die Folge hat den Grenzwert 3. ( In Wirklichkeit wird diese Zahl nie erreicht, aber der Fehler wird mit zunehmender Annäherung so klein, dass er vernachlässigt werden kann). Nun wissen wir: Die Steigung der Tangente und somit die Steigung des Graphen.

3. Formalisierung des Lösungsweges

Der oben aufgestellte Lösungsweg ist sehr aufwendig , vor allem bei Funktionen mit umfangreichen Funktionstermen.

Deshalb hat man einen Lösungsweg entwickelt, der ohne langwierige Berechnungen auskommt.

Damit dieser Lösungsweg verstanden wird, müssen einige Gedankengänge, die im obigen Verfahren benutzt wurden, in eine ein klein wenig geänderte Richtung gebracht werden.

Die Punkte P₁ , P₂ usw. liegen rechts von P₀ , dies bedeutet, dass man zum x-Wert von P₀ eine Zahl – sie bekommt den Buchstaben h – addieren muss, um zu den x-Werten von P₁ , P₂ usw. zu gelangen.

Also ist: x₁ = x₀+h₁, x₂ = x₀+h₂ usw.

Allgemein ist x_n = x₀+h .

Dann gilt in der Formel

Entsprechendes gilt für x₂ - x₀ usw.

Allgemein gilt dann: x_n- x₀ = x₀+h - x₀ = h

Nun verändern wir auch im Zähler die x₁ , x₂ usw. und schreiben allgemein x₀+h , d.h. aus f(x_n) wird

Die neue Sekantensteigungsformel lautet dann:

Bevor wir zu einer konkreten Berechnung kommen, sei Folgendes klargestellt:

1) h nimmt nie den Wert 0 an! Da wir immer zwei Punkte haben, muss h eine Zahl sein, die größer als 0 ist. Da die Punkte immer näher zueinander liegen, strebt h gegen 0!

2) y-Werte erhält man, indem man x-Werte im Funktionsterm einsetzt. Also erhält man f(x₀+h) , indem man x₀+h einsetzt. Außerdem ist f(x₀) der y-Wert des Punktes P₀ , und dieser Punkt ist zahlenmäßig angegeben.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f(x) = x² + 2x

Zu berechnen ist die Steigung des Graphen in P₀ (2/8).

Lösungsweg:

Wir kennen: x₀ = 2 und f(x₀) = f(2) = 8

Beachte, dass (2+h) überall für x eingesetzt wird!

Binomische Formel beachten!!!

Im Zähler h ausklammern.

Wir könnten nun für h Zahlen einsetzen(Z.B. h=0,1 )

Unser Ziel ist allerdings, die Steigung der Tangente zu bestimmen. Also suchen wir die Zahl, gegen die h+6 strebt.

Weil h gegen 0 strebt, muss unsere gesuchte Zahl 6 sein.

Damit wissen wir nun: Die Steigung des Graphen im

Punkt P₀ (2/8) hat den Wert 8. Dies ist auch der Wert der Steigung der Tangente, die den Graphen in P₀ (2/8) berührt.

Zu diesen letzten Überlegungen gibt es die folgende spezielle Berechnungsdarstellung:

Diesen Term nennt man Differentialquotienten.

lim steht für Limes und damit ist die Zahl gemeint, gegen die die o.g. Sekantensteigungsfolge strebt. Deshalb kann man auch sagen, dass die Steigung des Graphen der Grenzwert (deutsches Wort für Limes) der Sekantensteigungsfolge ist.

Man nennt diese Zahl auch Ableitungswert und schreibt:

(gesprochen: f - Strich von x)

Deshalb gilt:

Den Bruchterm ohne lim nennt man Differenzenquotienten, denn man hat im Zähler und im Nenner Differenzen und diese bilden den Quotienten.

Weitere Zahlenbeispiele:

f(x) = x² - 3x + 5 x₀ = 2

Zuerst muss der y-Wert berechnet werden:

Nun bildet man

Die Zahl 1 gibt die Steigung der Tangente an, die den Graphen in P₀(2/3) berührt, somit gibt sie die Steigung des Graphen in P₀(2/3) an, außerdem hat die Funktion bei x₀ = 2 den Ableitungswert 1.