Allgemeines:
Eine Kurvendiskussion besteht aus der Berechnung spezieller Punkte eines Graphen sowie der Untersuchung eventuell vorhandener Eigenschaften.
Spezielle
Punkte des Graphen sind die Schnittpunkte mit den Achsen, die relativen
Extrempunkte und die Wendepunkte.
Eigenschaften
sind Symmetrie, eventuell
vorhandene Definitionslücken; man untersucht den Verlauf des Graphen in der Nähe
dieser Lücken; außerdem untersucht man den Verlauf des Graphen für immer größer
werdende (positive) x-Werte bzw. immer kleiner werdende (negative) x-Werte.
Die
Funktionen der Funktionenscharen haben wegen des Parameters (des zusätzlichen
Buchstaben in der Funktionsgleichung) gleiche Eigenschaften, aber
unterschiedliche Form.
Beispiel:
Gegeben
ist die Funktion mit der Gleichung
1)
Definitionsbereich:
Die Funktionenschar besteht aus ganzrationalen
Funktionen und es gilt D(f) = IR
( d.h. man kann ohne Einschränkung jede reelle Zahl
einsetzen; zu jeder reellen Zahl gibt es einen Funktionswert). Für t allerdings
muss die folgende Einschränkung gelten:
)
2)
Schnittpunkte
mit den Achsen:
a)
mit der
x-Achse, d.h. Nullstellenberechnung.
wir klammern x aus:
Mit 3 multiplizieren:
p-p-Formel:
Jede Funktion der Schar hat eine Nullstelle bei N
(0/0) und eine doppelte Nullstelle bei
Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhält man durch
Einsetzen der Zahl 0: f(0) = 0
3)
Ableitungen:
a)
Notwendige
Bedingung für das Vorhandensein ist:
b)
Hinreichende
Bedingung:
Den ersten Teil dieser Doppelbedingung haben wir schon behandelt, also müssen wir nur den zweiten Teil behandeln, also müssen wir untersuchen, ob für die oben ausgerechneten Zahlen gilt:
c)
Berechnung
der Funktionswerte: (Einsetzen der bei a) berechneten Zahlen in die
Funktionsgleichung)
5)
Wendepunkte:
a)
Notwendige
Bedingung:
b)
Hinreichende
Bedingung:
Der erste Teil dieser Bedingung ist schon bei a)
untersucht, nun muss nur noch der zweite Teil für die ausgerechnete Zahl
untersucht werden:
c)
Berechnung
des Funktionswertes:
Wenn
man für t eine Zahl einsetzt, erhält man eine Funktion, mit dem Einsetzen
dieser Zahl bei allen berechneten Punkten erhält man die zahlenmäßigen
Koordinaten der Punkte. Außerdem kann man unter Benutzung einer Wertetabelle
weitere Punkte erhalten und den Graphen dieser speziellen Funktion der Schar
zeichnen.
Des
weiteren kann man die Funktionsgleichungen der Graphen berechnen, auf denen die
relativen Extrempunkte sowie die Wendepunkte liegen.
Die
Berechnung geschieht immer nach dem folgendem Schema: Man formt die Endgleichung
aus der notwendigen Bedingung nach t um und setzt den neuen Term für x beim
dazugehörigen Funktionswert ein.
Beispiel:
Berechnung für die Extrempunkte :
(Weil
der Funktionswert der anderen Extrempunkte 0 ist, liegen diese Extrempunkte auf
der x-Achse, sie sind ja auch gleichzeitig Nullstellen, genaugenommen sind sie
Berührstellen).
Beispiel:
Berechnung der Wendepunktekurve:
