Allgemeines:
Eine Kurvendiskussion besteht aus der Berechnung spezieller Punkte eines Graphen sowie der Untersuchung eventuell vorhandener Eigenschaften.
Spezielle Punkte des Graphen sind die Schnittpunkte mit den Achsen, die relativen Extrempunkte und die Wendepunkte.
Eigenschaften sind Symmetrie, eventuell vorhandene Definitionslücken; man untersucht den Verlauf des Graphen in der Nähe dieser Lücken; außerdem untersucht man den Verlauf des Graphen für immer größer werdende (positive) x-Werte bzw. immer kleiner werdende (negative) x-Werte.
Letztlich wird der Graph mithilfe der berechneten Punkte und der gefundenen Eigenschaften in ein Koordinatensystem gezeichnet, eventuell braucht man hierzu einige weitere Punkte des Graphen.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
1) Definitionsbereich: Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion und es gilt D(f) = IR
( d.h. man kann ohne Einschränkung jede reelle Zahl einsetzen; zu jeder reellen Zahl gibt es einen Funktionswert).
2) Schnittpunkte mit den Achsen:
a) mit der x-Achse, d.h. Nullstellenberechnung.
zuerst müssen die Nenner weg, deshalb mit 4 multiplizieren:
Es gibt keine direkte Methode, mit der man die x-Werte berechnen kann! Man muss zuerst einen Wert durch Probieren finden! Man erkennt nach kurzem Suchen (d.h. Einsetzen) dass die Zahl 2 die obige Gleichung erfüllt.
Nun muss man mit Polynomdivision aus die Gleichung mit x³ eine Gleichung mit x² machen, damit man anschließend diese quadratische Gleichung bearbeiten kann. (Hier wird oft mit der p-q-Formel weitergerechnet)
Polynomdivision: (x³ - 2x² - 4x + 8):(x – 2) =
x² - 4
3. binomische Formel :
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also:
b) Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhält man durch Einsetzen der Zahl 0: f(0) = 2
3) Ableitungen:
4) Relative Extrempunkte:
a) Notwendige Bedingung für das Vorhandensein ist:
b) Hinreichende Bedingung:
(Den ersten Teil dieser Doppelbedingung haben wir schon behandelt, also müssen wir nur den zweiten Teil behandeln, also müssen wir untersuchen, ob für die oben ausgerechneten Zahlen gilt:
(wenn die 2. Ableitung für die eingesetzte Zahl – das ist der bei a) ausrechnete x-Wert - eine positive Zahl ist, liegt bei diesem x-Wert ein relatives Minimum – auch Tiefpunkt genannt; wenn die 2. Ableitung eine negative Zahl ist, liegt bei diesem x-Wert ein relatives Maximum – auch Hochpunkt genannt)
c) Berechnung der Funktionswerte: (Ein setzender bei a) berechneten Zahlen in die Funktionsgleichung)
5) Wendepunkte:
a) Notwendige Bedingung:
b) Hinreichende Bedingung:
Der erste Teil dieser Bedingung ist schon bei a) untersucht, nun muss nur noch der zweite Teil für die ausgerechnete Zahl untersucht werden:
c) Berechnung des Funktionswertes:
Der Graph hat ungefähr dieses Aussehen:
