Füllungsaufgaben
Einführungsbeispiel:
Ein Tank wird durch zwei Rohre gefüllt. Wenn nur durch das 1. Rohr gefüllt
wird, ist der Tank in 36 min voll; wenn nur durch das 2. Rohr gefüllt wird, ist
der Tank in 45 min voll.
In welcher Zeit ist der Tank voll, wenn durch beide Rohre gleichzeitig gefüllt
wird?
Vorüberlegungen: Zuerst überlegen wir uns, wie voll der Tank in einer Minute wird: durch das erste Rohr ist der Tank in einer Minute zu 1/36 gefüllt, durch das 2. Rohr zu 1/45. Wenn wir durch beide Rohre füllen, ist in einer Minute der Tank zu 1/36+1/45 gefüllt. Wenn der Tank ganz gefüllt ist, haben sich alle Minutenwerte zu einem Ganzen ergänzt. Wir wissen nur noch nicht, wie viele Minuten die Füllung dauert. Also nennen wir die Anzahl der Minuten x. So entsteht dir Gleichung
( 1/36 + 1/45 ) x = 1
Man bildet den Hauptnenner und erweitert: 5/180 +4/180 = 9/180 gekürzt 1/20
Also ist durch beide Rohre in einer Minute der Tank zu 1/20 gefüllt, somit brauchen beide Rohre zusammen 20 Minuten.
Wir sehen also: man muss alles auf 1 Zeiteinheit abstimmen.
Wenn die Zeitangaben in Stunden oder Tage gemacht werden, muss man also die
Sache auf 1 Stunde bzw. 1 Tag beziehen.
Beispiel: Das 1. Rohr braucht 6 Std., das 2. Rohr braucht 4 Std. dann
entsteht die Gleichung (1/6 + 1/4 ) x = 1
Hauptnenner und erweitern: 2/12 +3/12 = 5/12
Nun kann man nicht kürzen, folgende Überlegung hilft weiter. In einer Stunde
ist der Tank zu 5/12 gefüllt, in 2 Stunden zu 10/12 und in 3 Stunden ist er mit
15/12 überfüllt, also liegt das Ergebnis zwischen 2 und 3 Stunden. Deshalb
müssen wir zu Minuten wechseln. In einer Stunde = 60 Minuten ist der Tank also
zu 5/12 gefüllt, in einer Minute ist er ein Sechzigstel von 5/12 gefüllt, dies
ist 5/720, nun kann man kürzen und erhält 1/145. Also ist der Tank in 145
Minuten oder 2 Stunden und 25 Minuten gefüllt.
Man kann die Gleichungen aber auch mathematisch umformen:
Es entsteht ja 5/12 x = 1 . Man bringt 5/12 auf die andere Seite: x = 12/5
Also entsteht 12/5 = 2 Ganze und 2/5 , d.h. 2 Std. und 2/5 Std. =25 Minuten.
Ähnlich sind die Aufgaben, bei denen Lastwagen Material transportieren.
Beispiel: 300 t Kies sollen transportiert werden, hierzu stehen 2 LKW
bereit.
LKW A kann 5 t laden, LKW B 15 t, fährt LKW A alleine, müsste 60mal gefahren
werden, LKW B müsste alleine 20mal gefahren werden.
Wenn beide fahren, heißt das, sie fahren hintereinander, sie transportieren
zusammen 20 t, also müssen sie 15mal fahren.
Wenn nun LKW A einmal fährt, transportiert er 1/60 der gesamten Menge
(denn er müsste ja 60mal fahren), der LKW B transportiert 1/20 der gesamten
Menge. Wenn beide hintereinander einmal fahren, transportieren sie 1/60 + 1/20
(Wie bei den Füllungsaufgaben!) Nun addieren: 1/60 +3/60 = 4/60 = 1/15
(gekürzt)
also transportieren beide zusammen 1/15 der Gesamtmenge, deshalb müssen sie
15mal fahren.
Die math. Lösung: 1/60 + 1/20 = 1/x 1/15 = 1/x x = 15
2. Beispiel. Ein Haufen Mutterboden soll abtransportiert werden. Hierzu werden 3
Lastwagen eingesetzt. Lastwagen 1 müsste 15mal (alleine) fahren, Lastwagen 2
müsste 30mal und Lastwagen 3 müsste 10mal fahren.
Es entstehen die Brüche 1/15 , 1/30 und 1/10. Wieder Hauptnenner bilden:
2/30 + 1/30 + 3/30 = 6/30 = 1/5 . Also fahren alle zusammen 5mal.