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c, normalerweise wird der Punkt weggelassen.Einführung in die Algebra/Teil 1
"Algebra ist Buchstabenrechnen", sagt der gemeine Schüler. Dies klingt komisch, denn bis jetzt hast du mit Buchstaben hauptsächlich geschrieben oder gelesen. Du wirst aber gleich erkennen, dass man mit Buchstaben auch rechnen kann. Die Buchstaben kann man sich vorstellen als Abkürzungen für Gegenstände: a für Apfel, b für Birne, c für Mathelehrer usw. Dann könnte 2a zwei Äpfel heißen und 4c vier Mathelehrer. Wenn nun unser Gymnasium 12c und das Nachbargymnasium 9c hat, dann sind dies zusammen 21c oder 21 Mathelehrer. Dabei ist zu beachten, das c für 1 Mathelehrer steht, also ist c und 1c dasselbe. Demnach ist c + c = 2c. Ebenso gilt: 7c - 3c = 4c.
Die nächste wichtige Sache ist: Verschiedene Buchstaben kann man nicht addieren oder subtrahieren! 3a + 4b sind und bleiben 3a plus 4b.
Weitere Beispiele: 4a + 8b + c +3a - 9b = 7a - b + c
5x - 4y - 8z + 4y -5z -9x = -4x - 13z
Ich versuche, zu erklären, warum es auch in der Mathematik nicht sinnvoll ist, verschiedene Buchstaben zusammenzufassen. 4c seien 4 Mathelehrer, 3a seien 3 Väter; sind dann 4c + 3a 7 Mathelehrerväter oder 7 Väter, die Mathelehrer sind oder 7 Mathelehrer, die Väter sind? Alle Kombinationen machen keinen Sinn.
Nächste Sache: 3c bedeutet auch dreimal 1c, deshalb könnte man
auch schreiben:
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c, normalerweise wird der Punkt weggelassen.
Du weißt nun, dass 3a z.B. für drei Äpfel stehen kann, was bedeutet aber a²? Wenn a für 1 Apfel steht, müsste a² 1 Quadratapfel sein. Da es keine Quadratäpfel gibt, ist mein Gegenstand unsinnig gewählt. Aber du kennst die Abkürzung m für Meter, was ist dann m²? Gibt es 250 m²?
Du siehst: m² steht für Quadratmeter. Also kann man rechnen: 7m² +5m² = 12m²
Ebenso kennst du m³. 5m³ + 4m³ = 9m³ (Kubikmeter)
Auch gibt es cm³; km²; deshalb kann man unzählige Buchstabenkombinationen bilden wie hm³; m²n³; a³b³c; kxym usw. Jede Kombination könnte die Abkürzung für einen Gegenstand sein. Und so addiert oder subtrahiert man diese Abkürzungen. 7xy²z³ + 3xy²z³ = 10 xy²z³ .
Aber: Verschiedene Kombinationen kann man nicht addieren oder subtrahieren!
Du hast im Unterricht bestimmt schon den Begriff Term gehört. Nun benutze ich diesen Begriff ebenfalls: Ein Term ist nichts anderes als eine Kombination aus Zahlen, Buchstaben und Verknüpfungszeichen (Rechenzeichen). Z.B. 8ab²; 2a+3b; 5yxc - 3a; aber auch die einzelnen Buchstaben nennt man Terme.
Ich komme nun zur Multiplikation. Wir haben oben schon Terme multipliziert: 3a ist ja 3 mal a; oder a³ ist a mal a mal a.
Merke dir: a * a * a = a³ ; * steht für Multiplizieren.
k * m * c = kmc ; k²m² * km = k³m³ , denn k² * k = k³ usw.
Umgekehrt kann man schreiben: n³m² = n*n*n*m*m.
Außerdem ist 6a³ = 6*a*a*a
4x²*5x = 20x³; 6ab²*5ab = 30a²b³; 2mng* 4mg = 8 m² ng²
Ein Term ist übersichtlicher, wenn die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge angeordnet sind: Statt 8m²ng² schreibt man 8g²m²n.
Die Division wird später behandelt.
Ich komme nun zum Rechnen mit Klammern:
Früher hast du zuerst die Klammer berechnet. Beispiel:
7 * (8+2) = 7 * 10 = 70. Ein wenig umständlich ist folgende Rechnung:
7 * 8 + 7 * 2 = 56 + 14 = 70. Aber man sieht, dass das Ergebnis gleich ist.
Wenn man nun Buchstaben hat, kann man die Klammer gar nicht berechnen. Z.B. 7*(a + b) . Nun benutzt man die zweite Methode und erhält: 7*(a +b) = 7*a + 7*b = 7a +7b
Ohne das *-Zeichen entsteht: 7 (a + b) = 7a +7b
Entsprechend rechnet man die folgenden Aufgaben:
5 (3a + 4b) = 15a +20b; 8 (4x² - 9y³) = 32x² - 72y³
a (a +b - c) = a² + ab - ac; 3x (2x + 5y - 3xy) = 6x² +15xy - 9x²y
Rechne selbst: 5s (3t + 6st -7s); 7a (5ab + 8b); 6x² (2x² +3x - 9)
Dieses Rechenverfahren nennt man auch "Umformung eines Produktes in eine Summe nach dem Distributivgesetz".
Nun kommt die Umkehrung: Umformung einer Summe in ein Produkt. Dieser Weg wird auch "Ausklammern" oder "Faktorisieren" genannt. Ich nehme das obige fett gedruckte Beispiel:
Aus 32x² -72y³ muss wieder 8 (4x² - 9y³) werden. Man muss also bei den Zahlen eine gemeinsame Zahl finden, die dann vor die Klammer geschrieben wird. Diese Zahl soll der ggT der Zahlen sein!
Beispiele: 12a + 8b = 4*3a + 4*2b; die fette 4 ist der ggT von 12 und 8 und wird vor die Klammer geschrieben: 4 (3a +2b).
24x + 32y - 64z = 8 ( 3x + 4y - 8z) Jetzt betrachten wir auch die Buchstaben: 15ab + 20ac = 5a (3b +4c)
30xyz + 45xyu - 75xy = 15 xy (2z + 3u - 5)
55x²y + 66xy² - 77xy = 11xy (5x + 6y - 7)
100a²b²c + 50abc² - 150ab²c = 50abc (2ab + c - 3b)
20ab² + 5ab = 5ab ( 4b + 1) Hier gehört eine 1 hin, weil man sonst beim Multiplizieren nicht wieder die Summe erhält! Wenn also beim Ausklammern ein kompletter Summand vor die Klammer kommt, muss man in die Klammer an diese Stelle eine 1 schreiben!
Übungen: 35xy² - 45xz + 60xy; 44a²b + 66 ab² - 88 abc;
40xy³ + 55xy - 5x; 18ab + 9a - 45a² ; 48x³y²z² + 56x³yz³ - 8xz²
Einen besonderen Fall stellt eine Klammer dar, vor der ein Minuszeichen steht, z. B. - (8a +5b -3c) = -8a - 5b + 3c .Die Vorzeichen in der Klammer werden umgedreht! Entsprechend gilt:
-5 (3a + 6b -7c -9d) = -15a -30b + 37c + 45d
Du hast ja schon gelernt: - mal + gleich - und - mal - gleich + !
Nun rechnen wir mit mehreren Klammern:
3 (3a +5b) + 2 (6a - 4b) + 8 (3a +9b) = 9a +15b +12a - 8b + 24a +72b = 45a + 79b
8 (2x + 6y - 4z) - 5 (3x -7y - 9z) - 2 (6x -5y - 8z) = 16x + 48y - 32z - 15x + 35y + 45z - 12x + 10y + 16z = -11x + 93y +28z
Du siehst: Gleiche Buchstaben kann man zusammenfassen.